Clasificación de funciones


Clasificación de funciones

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0




Función cuadrática
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde ab c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a >  0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:
funciones002
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.
Ejemplo:
funciones023
f(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

Función racional
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:
funciones003

para los polinomios f(x) y g(x).
Ejemplos:
funciones004

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).
Función de potencia
Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real.
Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia
Ver, además Función raíz cuadrada

Ejercicios y ejemplos con funciones en general:


Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:
a) Su cuádruplo.
La función es: (x) = 4x.
b) Un número 2 unidades mayor.
La función es: (x) = x + 2.
c) Su mitad menos 1.
La función es: (x) = x/2 − 1.
d) El cuadrado del número que es una unidad menor.
La función es: (x) = (x − 1)2

Veamos algunos otros ejemplos de funciones:
1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada por la ley de Boyle-Mariotte:
funciones007
donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas y c es una constante de proporcionalidad.
Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del volumen.
2) El área A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula:
funciones016
Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.
3) Dada la función f(x) = 5x2 + 2
Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.

Para calcular la imagen de un elemento bajo la función f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la variable, así para x = 2
f(2) = 5(2)2 + 2
f(2) = 22
por lo tanto cuando x = 2, se tiene que f(2) = 22.


Un problema resuelto
El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido.
a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.
b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?
c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?
Veamos:
a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es (x) = 15 + 0,2x.
b) x = 50 entonces
(50) = 15 + 0,2 • 50 = 25
Hay que pagar 25 dólares.
c) (x) = 53 entonces
15 + 0,2x = 53 entonces x = 190
Se han recorrido 190 km.

 Álgebra de funciones

Suma, resta, multiplicación y división de funciones


Sean f y g dos funciones cualesquiera.
Se define funciones005 como

funciones006


Ejemplos:

Suma de funciones
Sean las funciones
funciones012

Resta de funciones
funciones013

Producto de funciones
Sean las funciones
funciones014


División de funciones
Sean las funciones
funciones015



Nótese que hemos factorizado por (x − 1)
Ejemplo para practicar:
Sean f(x) = 3x3 + 7 y g(x) = x2 – 1. Hallar la suma, diferencia, producto y cociente de las funciones.

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